Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale

Nato dall’esperienza del corso di Analisi III all’Università di Mosca, il volume passa dalla teoria generale degli insiemi, agli spazi metrici e topologici e alle loro applicazioni continue, agli spazi di misura e all'integrazione in essi. Vengono inoltre studiati gli spazi lineari delle funzioni sommabili e le funzioni a una variabile reale. Sebbene il libro sia dedicato soprattutto alle nozioni generali di teoria delle funzioni e di analisi funzionale, si pone sempre l'attenzione alla problematica classica con l'inclusione della teoria della derivazione, delle serie trigonometriche, degli integrali di Fourier e delle equazioni integrali lineari.

Pubblicato nel 2012
ISBN 9788864732398
Formato 17x24 cm.
Pagine 536
Peso 920 gr.

INDICE

Prefazione alla quarta edizione

Prefazione alla terza edizione

I. ELEMENTI DI TEORIA DEGLI INSIEMI
§ 1. Nozione di insieme. Operazioni sugli insiemi
§ 2. Applicazioni. Partizioni in classi
§ 3. Equivalenza di insiemi. Nozione di potenza di un insieme
§ 4. Insiemi ordinati. Numeri transfiniti
§ 5. Famiglie di insiemi

II. SPAZI METRICI E TOPOLOGICI
§ 1. Nozione di spazione metrico
§ 2. Convergenza. Insiemi aperti e chiusi
§ 3. Spazi metrici completi
§ 4. Principio delle contrazioni e sue applicazioni
§ 5. Spazi topologici
§ 6. Compattezza
§ 7. Compattezza negli spazi metrici
§ 8. Curve continue negli spazi metrici

III. SPAZI LINEARI TOPOLOGICI E NORMATI
§ 1. Spazi lineari
§ 2. Insiemi convessi e funzionali convessi. Teorema di Hahn-Banach
§ 3. Spazi normati
§ 4. Spazi euclidei
§ 5. Spazi lineari topologici

IV. FUNZIONALI E OPERATORI LINEARI
§ 1. Funzionali lineari continui
§ 2. Spazio coniugato
§ 3. Topologia debole e convergenza debole
§ 4. Distribuzioni
§ 5. Operatori lineari
§ 6. Operatori compatti

V. MISURA, FUNZIONI MISURABILI, INTEGRALE
§ 1. Misura degli insiemi piani
§ 2. Nozione generale di misura. Prolungamento della misura da un semianello ad un anello
§ 3. Prolungamento di Lebesgue della misura
§ 4. Funzioni misurabili
§ 5. Integrale di Lebesgue
§ 6. Prodotti diretti di famiglie di insiemi e di misure. Teorema di Fubini

VI. INTEGRALE INDEFINITO DI LEBESGUE. TEORIA DELLA DERIVAZIONE
§ 1. Funzioni monotone. Derivabilità dell'integrale rispetto al limite superiore
§ 2. Funzioni a variazione limitata
§ 3. Derivata dell'integrale indefinito di Lebesgue
§ 4. Determinazione di una funzione in bale alla sua derivata. Funzioni assolutamente continue
§ 5. Integrale di Lebesgue come funzione insiemistica. Teorema di Radon-Nikodim
§ 6. Integrale di Stieltjes

VII. SPAZI DI FUNZIONI SOMMABILI
§ 1. Spazio L1
§ 2. Spazio L2
§ 3. Sistemi di funzioni ortogonali in L2. Serie rispetto a sistemi ortogonali

VIII. SERIE TRIGONOMETRICHE. TRASFORMATA DI FOURIER
§ 1. Condizioni di convergenza della serie di Fourier
§ 2. Teorema di Fejer
§ 3. Integrale di Fourier
§ 4. Trasformata di Fourier, proprietà fondamentali e applicazioni
§ 5. Trasformata di Fourier nello spazio L2
§ 6. Trasformata di Laplace
§ 7. Trasformata di Fourier-Stieltjes
§ 8. Trasformata di Fourier delle distribuzioni

IX. EQUAZIONI INTEGRALI LINEARI
§ 1. Definizioni fondamentali. Alcuni problemi che conducono ad equazioni integrali
§ 2. Equazioni integrali di Fredholm
§ 3. Equazioni integrali contenenti un parametro. Metodo di Fredholm

X. ELEMENTI DI CALCOLO DIFFERENZIALE NEGLI SPAZI LINEARI
§ 1. Differenziazione negli spazi lineari
§ 2. Teorema della funzione implicita e alcune sue applicazioni
§ 3. Problemi estremali
§ 4. Metodo di Newton

APPENDICE. ALGEBRE DI BANACH
§ 1. Definizioni ed esempi di algebre di Banach
§ 2. Spettro e risolvente
§ 3. Alcuni risultati ausiliari
§ 4. Teoremi fondamentali

Bibliografia

Distribuzione delle fonti bibliografiche per capitoli

Indice analitico